Question

【題目】已知矩形ABCD的長AB=4，寬AD=3，將其沿對角線BD折起，得到四面體A﹣BCD，如圖所示，給出下列結論：
①四面體A﹣BCD體積的最大值為 ；
②四面體A﹣BCD外接球的表面積恒為定值；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點，則恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④當二面角A﹣BD﹣C為直二面角時，直線AB、CD所成角的余弦值為 ；
⑤當二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時，棱AC的長為 ．
其中正確的結論有（請寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：①四面體ABCD體積最大值為兩個面互相垂直，四面體A﹣BCD體積的最大值為 = ，故不正確；
②三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為 ，所以三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為4 =25π；②正確；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點，連接AF，CF則AF=CF，根據等腰三角形三線合一得到EF⊥AC；
連接DE，BE，容易判斷△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正確；
④當二面角A﹣BD﹣C為直二面角時，以C為原點CB，CD所在直線分別為x，y軸，則由向量的數量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為 ，所以④正確．
⑤當二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時，棱AC的長為 ，在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，則AE=CF= ，DE=BF= ，
同理直角三角形ABC中，則EF=BD﹣DE﹣BF= ，
在平面ABD內，過F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，易得四邊形AEFH為矩形，
則AH=EF= ，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH為二面角C﹣BD﹣A的平面角，且為60°，
即CH=CF= ，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
則AC= = ，故⑤錯誤；
所以答案是：②③④．
【考點精析】本題主要考查了棱錐的結構特征的相關知識點，需要掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方才能正確解答此題．