Question

（2013•大興區一模）已知函數f（x）是定義（0，+∞）的單調遞增函數，且x∈N^*時，f（x）∈N^*，若f[f（n）]=3n，則f（2）=

3

；f（4）+f（5）=

15

．

Answer 1

分析：由x∈N^*時，f（x）∈N^*，分類討論可得f（1）=2，進而可得f（3）=6，f（6）=9，由單調性可知f（4）=7，f（5）=8，進而可得答案．

解答：解：若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=1，與條件f（f（n））=3n矛盾，故不成立；
若f（1）=3，則f（f（1））=f（3）=3，即f（1）=f（3）這與函數單調遞增矛盾，故不成立；
若f（1）=n （n＞3），則f（f（1））=f（n）=3，與f（x）單調遞增矛盾，故不成立；
所以只剩f（1）=2，代入可得f（f（1））=f（2）=3，
進而可得f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，
由單調性可知f（4）=7，f（5）=8，故f（4）+f（5）=15
故答案為：3；15

點評：本題考查函數值的求解，涉及分類討論的思想，屬基礎題．