Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，定點A（3，2）與點F在C的兩側，C上的動點P到點A的距離與到其準線l的距離之和的最小值為

10

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設l與y軸交于點M，過點M任作直線與C交于P，Q兩點，Q關于y軸的對稱點為Q′．
①求證：Q′，F，P共線；
②求△MPQ′面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過P作PP₁⊥l于P₁，則|PA|+|PP₁|=|PA|+|PF|≥|AF|．當P，A，F共線時，|PA|+|PP₁|取最小值，|AF|=

9+( p 2 -2)2

=

10

．解得p=6，或p=2，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）①設直線PQ的方程為y=kx-1，由

y=kx-1 x2=4y

消去y，整理得x²-4kx+4=0，由△=16k²-16＞0，得|k|＞1．再由韋達定理知Q′，F，P共線．
②S=

1

2

|MF|(|x1|+|-x2|)=

1

2

•2•(|x1|+|x2|)=|x₁+x₂|=4|k|，由|k|＞1，知S＞4．

解答：解：（Ⅰ）過P作PP₁⊥l于P₁，則|PA|+|PP₁|=|PA|+|PF|≥|AF|．
當P，A，F共線時，|PA|+|PP₁|取最小值|AF|=

9+( p 2 -2)2

=

10

．
解得p=6，或p=2．（3分）
當p=6時，拋物線C的方程為x²=12y，此時，點A與點F在拋物線C同側，這與已知不符．∴p=2，
拋物線C的方程為x²=4y．（5分）
（Ⅱ）①設直線PQ的方程為y=kx-1，由

y=kx-1 x2=4y

消去y，整理得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-16＞0，得|k|＞1．（7分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則Q′（-x₂，y₂），x₁+x₂=4k，x₁•x₂=4.kFP-kFQ/=

y1-1

x1

-

y2-1

-x2

=

kx1-2

x1

+

kx2-2

x2

=

2kx1x2-2(x1+x2)

x1x2

=

2k•4-2•4k

4

=0．
∴Q′，F，P共線．（11分）
②S=

1

2

|MF|(|x1|+|-x2|)=

1

2

•2•(|x1|+|x2|)=|x₁+x₂|=4|k|，
∵|k|＞1，∴S＞4．（15分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，計算量較大，計算過程較繁，解題時要認真審題，合理地進行等價變換，注意提高解題技巧．