Question

【題目】已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，過點P（-2，2）的直線l與拋物線C交于A，B兩點．

（1）當點P為A、B的中點時，求直線AB的方程；

（2）求|AF||BF|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x+y=0；（2）

【解析】

（1）解法1：利用平方差法，求得直線的斜率，即可求解直線的方程；

解法2：設l的方程為y=k（x+2）+2，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得，即可求解直線的方程．

（2）解法1：由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，得到|AF||BF|=y1y2+（y1+y2）+1，聯立方程組，利用方程的根和系數的關系，代入即可求解；

解法2：由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，化簡|AF||BF|=y1y2+（y1+y2）+1，利用拋物線的性質，即可求解．

（1）解法1：設A（x1，y1），B（x2，y2），，

顯然x1≠x2，兩式相減得，∴k=-1，

所以直線AB的方程為y-2=-（x+2）．即x+y=0．

解法2：設A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直線l有斜率，

設l的方程為y=k（x+2）+2，

聯立方程，消去x整理得y2-4（k2+k+1）y+4（k+1）2=0，

由解得k=-1（k=0明顯不成立），

所以直線AB的方程為y-2=-（x+2）．即x+y=0．

（2）解法1：顯然直線l有斜率，設l的方程為y=k（x+2）+2

設A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF||BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1，

聯立方程，消去x整理得y2-4（k2+k+1）y+4（k+1）2=0，

∴，，

所以，

所以當時，|AF||BF|取得最小值，且最小值為．

解法2：由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF||BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1，

，

由（1）知x1x2=-8（k+1），得，y1+y2=k（x1+x2+4）+4=4k（k+1）+4，

所以

所以當時，|AF||BF|取得最小值為．