Question

【題目】已知定義在實數集上的奇函數,且當時, .

（Ⅰ）求函數在上的解析式;

（Ⅱ）判斷在上的單調性;

（Ⅲ）當取何值時,方程在上有實數解?

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） 或或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由是上的奇函數,得，且設,則， 即可得解；

（Ⅱ）設, 則，判斷正負即可下結論；

（Ⅲ）由函數單調性求得在的值域即可.

試題解析：

（Ⅰ）因為是上的奇函數,

所以,

設,則,

因為,

所以時, ,

所以.

（Ⅱ）證明:設,

則,

因為,

所以,

所以,

所以在上為減函數.

（Ⅲ）因為在上為減函數,

所以即,

同理, 上時, ,

又,

所以當或或時方程在上有實數解.

點睛: 證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結論：根據定義得出其單調性.