Question

【題目】某工廠生產某種電子產品，每件產品合格的概率均為，現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產品，且每件產品檢驗合格與否相互獨立．若每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產品每個（）一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗一次或次．設該工廠生產件該產品，記每件產品的平均檢驗次數為．

（1）的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當越大時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；

（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產品的平均檢驗次數．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，期望；（2）（i）詳見解析；（ii）時平均檢驗次數最少，約次．

【解析】

（1）根據每個（）一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗一次或次，每件產品的平均檢驗次數的可能取值為，，再利用獨立事件和互斥事件求得概率列出分布列，再求期望

（2）（i）由（1）知，根據指數函數的單調性得到在上單調遞減，從而得到結論. （ii）由（1）記，則由且取最小值時，該方案最合理求解.

（1）由題意，的可能取值為，

，，

故的分布列為

（2）（i）由（1），記，

因為．所以在上單調遞減，

故越大，越小，即所需平均檢驗次數越少，該方案越合理．

（ii）記，當且取最小值時，該方案最合理，

因為，，，，．

所以時平均檢驗次數最少，約次．