Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N* ．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn= ，求{bn}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵6Sn=（an+1）（an+2），

∴6Sn+1=（an+1+1）（an+1+2），

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0，

∵an＞0，

∴an﹣an﹣1=3，

∴{an}為等差數(shù)列

∵6S1=（a1+1）（a1+2），

∵a1＞1，

∴a1=2，

∴an=3n﹣1

（2）解：bn= = = （ ﹣ ），

∴{bn}的前n項(xiàng)和為 （ ﹣ ）= （ ﹣ ）

【解析】（1）由6Sn=（an+1）（an+2）得到6Sn+1=（an+1+1）（an+1+2），兩式作差，即可證明{an}為等差數(shù)列，從而求出an ． （2）由an=3n﹣1，推導(dǎo)出bn= （ ﹣ ），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{bn}的前n．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．