Question

已知

a

=（-

1

2

，

3

2

），

OA

=

a

-

b

，

OB

=

a

+

b

，若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則△AOB的面積是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,正弦定理

專題：計算題,解三角形,平面向量及應用

分析：根據向量的數量積及其運算性質，結合題中數據算出|

a

|=|

b

|=1且

a

⊥

b

，得到

a

、

b

是互相垂直的單位向量．由此算出

OA

、

OB

的模，利用三角形的面積公式加以計算，可得答案．

解答： 解：∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=0，
展開化簡得：

a

²-

b

²=0，得|

a

|=|

b

|，|

a

|=

1 4 + 3 4

=1，
|

OA

|=|

OB

|，即有|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，
即

a

2+

b

2-2

a

•

b

=

a

2+

b

2+2

a

•

b

，即有

a

•

b

=0，
可得

a

、

b

是互相垂直的單位向量
因此，|

OA

|=|

OB

|=

2

，得△OAB的面積S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|=1．
故答案為：1．

點評：本題給出單位向量互相垂直，求與之相關的△OAB的面積．著重考查了平面向量的數量積公式、向量數量積的運算性質和模的公式和三角形的面積求法等知識，屬于中檔題．