Question

定義區間（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的長度d均為d=b-a，多個互無交集的區間的并集長度為各區間長度之和．例如，（1，2）∪[3，5）的長度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超過x的最大整數，例如[2]=2，[3.7]=3，[-1.2]=2．記{x}=x-[x]，其中x∈R．設f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分別表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度，則當0≤x≤2015時，d₁•d₂•d₃=

 

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Answer 1

考點：交集及其運算

專題：集合

分析：分不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）三種情況，由x∈[0，1），x∈[1，2），x∈[2，2015]分類討論分別求出d₁，d₂，d₃，即可求出所求的值．

解答： 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1，
（i）由f（x）＞g（x），得到[x]x-[x]²＞x-1，即（[x]-1）x＞[x]²-1，
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＜1，此時x∈[0，1）；
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＜0，此時x∈∅；
當x∈[2，2015]時，[x]-1＞0，上式可化為x＞[x]-1，此時x∈∅；
綜上，x∈[0，1），即d₁=1；
（ii）由f（x）=g（x），得到[x]x-[x]²=x-1，即（[x]-1）x=[x]²-1，
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式化為x=1，此時x∈∅，
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式化為0=0，此時x∈[1，2），
當x∈[2，2015]時，可得[x]-1＞0，上式可化為x=[x]-1，此時x∈∅，
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2015的解集為[1，2），即d₂=1；
（iii）由f（x）＜g（x），得到[x]x-[x]²＜x-1，即（[x]-1）x＜[x]²-1，
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，此時x∈∅，
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式化為0＞0，此時x∈∅，
當x∈[2，2015]時，[x]-1＞0，上式化為x＜[x]-1，此時x∈[2，2015），
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2015時的解集為[2，2015]，即d₃=2013，
則d₁•d₂•d₃=2013，
故答案為：2013．

點評：此題考查了交集及其運算，利用了分類討論的思想，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．