Question

【題目】【2017衡陽(yáng)第二次聯(lián)考】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對(duì)于任意的， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)， ，過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；減區(qū)間為.（2）（3）

【解析】試題分析：（1）求單調(diào)區(qū)間則根據(jù)導(dǎo)數(shù)解不等式即可（2）令 要使恒成立，只需當(dāng)時(shí)， 分析函數(shù)單調(diào)性求出最小值解不等式即可（2） 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為從而切線方程為 代入M，令， ，這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于對(duì)稱，從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列的項(xiàng)也關(guān)于成對(duì)出現(xiàn)根據(jù)此規(guī)律即可分析得解

試題解析：

⑴

的增區(qū)間為；減區(qū)間為.

⑵令

要使恒成立，只需當(dāng)時(shí)，

令，則對(duì)恒成立

在上是增函數(shù)，則

①當(dāng)時(shí)， 恒成立， 在上為增函數(shù)

， 滿足題意；

②當(dāng)時(shí)， 在上有實(shí)根, 在上是增函數(shù)

則當(dāng)時(shí)， ， 不符合題意；

③當(dāng)時(shí)， 恒成立， 在上為減函數(shù)，

不符合題意

，即.

⑶

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為

從而切線方程為

令， ，這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于對(duì)稱，從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列的項(xiàng)也關(guān)于成對(duì)出現(xiàn)，又在共有1008對(duì)，每對(duì)和為.

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