Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，AD=2，PD=3，求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AC⊥平面PBD，只需證明PD⊥AC，BD⊥AC；
（Ⅱ）取BC的中點E，連接DE，PE，證明∠PED是二面角P-BC-A的平面角，利用tan∠PED=

PD

DE

=

3

，可得結論．

解答： （Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∴底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：取BC的中點E，連接DE，PE，則
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴DE⊥BC，
∴PE⊥BC，
∴∠PED是二面角P-BC-A的平面角．
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴DE=

3

，
∵PD=3，
∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

，
∴∠PED=60°

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．