Question

如圖，是拋物線的焦點，過軸上的動點作直線的垂線．

（Ⅰ）求證：直線與拋物線相切；
（Ⅱ）設直線與拋物線相切于點，過點作直線的垂線，垂足為，求線段的長度以及動點的軌跡方程．

Answer 1

（Ⅰ）證明略；
（Ⅱ）動點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，其軌跡方程是

（Ⅰ）求證：拋物線的焦點的坐標是（），＝，∵，
∴＝，∴直線的方程是，代入拋物線方程得
，
其判別式，所以，直線與拋物線相切．
（Ⅱ）解：直線與拋物線相切于點，由解得，代入得，依圖示可得點的坐標是（，）．所以
，
直線的方程是，　　　　　　　
點到直線的距離．　　　　　
∵，，，∴，
∴，∴動點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，其軌跡方程是
．