Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）若對于任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）的單調遞增區間是；的單調遞減區間是（3）.

【解析】

（1）先求得導函數，由導數的幾何意義求得切線的斜率，再求得切點坐標，即可由點斜式得切線方程；

（2）求得導函數，并令求得極值點，結合導函數的符號即可判斷函數單調區間；

（3）將不等式變形，并分離參數后構造函數，求得并令求得極值點，結合極值點左右兩側的單調性和端點求得最值，即可確定的取值范圍.

（1）因為函數，

所以，.

又因為，則切點坐標為，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2）函數定義域為，

由（1）可知，.

令解得.

與在區間上的情況如下：

	－	0	＋
	↘	極小值	↗

所以，的單調遞增區間是；

的單調遞減區間是.

（3）當時，“”等價于“”.

令，，，.

令解得，

當時，，所以在區間單調遞減.

當時，，所以在區間單調遞增.

而，.

所以在區間上的最大值為.

所以當時，對于任意，都有.