Question

【題目】如圖，扇形OAB的半徑為1，圓心角為120°，四邊形PQRS是扇形的內接矩形，當其面積最大時，求點P的位置，并求此最大面積．

Answer 1

【答案】解：設SP中點為C，PQ中點為D，如圖所示；

設∠COP=θ，則CP=1×sinθ=sinθ，
CO=cosθ，
DQ=CP=sinθ，
又∠DOQ= ，
∴OD= ，
∴CD=OC﹣OD=cosθ﹣ ，
∴S四邊形PQRS=CD×SP
=（cosθ﹣ ）2sinθ
=sin2θ﹣
=sinθ﹣
=sin2θ+ cos2θ﹣
= sin（2θ+ ）﹣ ，
當θ= 時，四邊形SPQR取得最大值為
Smax= ，
此時點P在弧AB的四等分點處
【解析】根據題意，設SP中點為C，PQ中點為D，∠COP=θ，表示出四邊形SPRS的面積，再利用三角恒等變換求出它的最大值即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用扇形面積公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．