Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數．

（1）求的值；

（2）已知在定義域上為減函數，若對任意的，不等式為常數）恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（1）因為是奇函數，所以=0，

即………………………3

（2）由（1）知，………………………5

設 ，則.

因為函數y=2在R上是增函數且， ∴>0.

又>0 ，∴>0，即，

∴在上為減函數.另法：或證明f′(x)0………………………9

（3）因為是奇函數，從而不等式

等價于，………………………3

因為為減函數，由上式推得．即對一切有，

從而判別式………………………13

【解析】

定義域為R的奇函數，得b=1，在代入1，-1，函數值相反得a;

,通常用函數的單調性轉化為自變量的大小關系。

（1） 是奇函數， ，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

即 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

（2）由（1）知

由上式易知在R上為減函數。 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

又因為為奇函數，從而不等式，

等價于┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

為減函數 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

即對一切都有┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分