Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1。

（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）V＝2.

解析試題分析： (1) 由DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC可得DC//EB，從而DC∥平面ABE.再由線面平行的性質定理可得DC∥，又由線面平行的判定定理可得∥平面BCDE；(2)證面面垂直，首先考慮證哪條線垂直哪個面. 結合題設和圖形，可考慮證FD⊥平面AFE.因為在△DEF中，由所給長度及勾股定理可得EF⊥FD.由DC⊥平面ABC可得DC⊥AF，又由AB=AC，F是BC的中點，可得AF⊥BC，從而AF⊥平面BCDE，AF⊥FD.這樣由EF⊥FD，AF⊥FD可得FD⊥平面AFE，從而得平面AFD⊥平面AFE.(3)該幾何體是一個四棱錐，其頂點為A，底面為BCDE.
試題解析：(1) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，
∴DC∥平面ABE
平面ABE平面ACD，則DC∥
又平面BCDE，CD平面BCDE
所以∥平面BCDE.                          4分
(2)在△DEF中，，由勾股定理知，
由DC⊥平面ABC，AF平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB=AC，F是BC的中點，∴AF⊥BC，
又∵DC∩BC=C，DC平面BCDE ，BC平面BCDE，
∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE=F，∴FD⊥平面AFE，
又FD平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.                        9分
(3)==2.      12分
考點：1、空間直線與平面的關系；2、幾何體的體積.