Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，AC與BD的交點(diǎn)為M．

（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求證：BE⊥平面AED．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)EM，∵四邊形ABCD是矩形，∴M為AC的中點(diǎn)，

∵E是PA的中點(diǎn)，∴EM是△PAC的中位線，

∴EM∥PC，

∵EM平面EBD，PC不包含于平面EBD，

∴PC∥平面EBD

（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

而AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，

∵BE平面PAB，∴AD⊥BE，

又∵△PAB是等邊三角形，且E是PA的中點(diǎn)，

∴BE⊥AE，

又AE∩AD=A，

∴BE⊥平面AED

【解析】（1）連結(jié)EM，由三角形中位線定理能證明PC∥平面EBD．（2）由已知條件得AD⊥平面PAB，從而得到AD⊥BE，由等邊三角形性質(zhì)得BE⊥AE，由此能證明BE⊥平面AED．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．