Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+

π

3

，有如下四個(gè)命題：
①f（x）-g（x）的最大值為

2

；
②f[h（x）]在區(qū)間[-

π

2

，0]上是增函數(shù)；
③g[f（x）]是最小正周期為2π的周期函數(shù)；
④將f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位可得g（x）的圖象．
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：命題①，f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

），由之判斷即可；
命題②，f[h（x）]=sin（x+

π

3

），根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷其在區(qū)間[-

π

2

，0]上的單調(diào)性即可；
命題③，代入驗(yàn)證2π是否是其周期；
命題④，由相關(guān)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行判斷即可．

解答：解：命題①，f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

），當(dāng)sin（x+

π

4

）=1時(shí)，函數(shù)取到最大值

2

，故正確；
命題②，f[h（x）]=sin（x+

π

3

），x∈[-

π

2

，0]時(shí)，x+

π

3

∈[-

π

6

，

π

3

]，故f[h（x）]=sin（x+

π

3

）在x∈[-

π

2

，0]時(shí)是增函數(shù)，故正確；
命題③，由于g[f（x）]=cos（sinx），因?yàn)閏os（sin（x+π））=cos（sinx）對(duì)x∈R都成立，故其是周期為π的周期函數(shù)，故不正確；
命題④，因?yàn)閟in（x-

π

2

）=-cosx≠cosx，故將f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位不能得到g（x）的圖象，故不正確．
故答案為   ①②

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)較多，全面涉及到了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、以及圖象的平移規(guī)則，重點(diǎn)檢驗(yàn)答題者對(duì)知識(shí)掌握理解的廣度．