Question

【題目】已知函數

（1）討論的單調性；

（2）若在定義域內有兩個極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求導后，將問題轉變為研究在時的正負；當，可知恒成立，從而可知，得到函數單調遞減；當時，解方程求出兩根，根據在不同區間內的符號確定原函數的單調性即可；（2）由（1）可知且是方程的兩個不等實根，從而可得韋達定理的形式；將整理為韋達定理的形式，代入可得，設，利用導數求得，從而可證得結論.

（1）由題意得：的定義域為，

令，

①當，即時，恒成立

即： 在上單調遞減

②當，即時

令，解得：，

當時，，即；當時，，即

在，上單調遞減；在上單調遞增

（2）在定義域上有兩個極值點

由（1）知且是方程的兩個不等實根

則，

設，則

則在上為減函數

則成立