Question

【題目】已知數列滿足,.

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）設數列滿足,其中.記的前項和為.是否存在正整數,使得成立？若存在,請求出所有滿足條件的；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），見解析

【解析】

（1）由條件，可得，從而可得{}是公比為的等比數列，由此可求數列{an}的通項公式；

（2）由數列的錯位相減法求和，以及等比數列的求和公式，可得所求和．

（3）先通過列舉法寫出{Sn}的前8項，再對m，n的奇偶分類討論，利用{Sn}的單調性來說明僅有一對符合題意的m，n.

（1）由已知可得：，即，

所以數列是等比數列，其中首項為，公比為，所以，即.

(2)Tn＝123n（）n，

Tn＝12（）nn（）n+1，

作差得：Tn＝nn（）n+1＝n（）n+1，

所以

(3)由已知可得，，，，

，，，.

1°當同時為偶數時，可知；設,則，因為

，

所以數列單調遞增，則≥5時，，即{S2n}在≥5時單調增，所以不成立；

故當同時為偶數時，可知；

2°當同時為奇數時，設,則，因為

，

所以數列單調遞增，則當≥2時，，

即≥2時，，數列在≥2時單調遞增，

而，，，故當同時為奇數時，不成立；

3°當為偶數，為奇數時，顯然時，不成立，

若，則，

∵，∴，由2°可知，∴，

∴當為偶數，為奇數時，不成立；

4°當為奇數，為偶數時，顯然時，不成立，若，則，

若，則，

即，∴時，不成立;

若，由1°知,又記滿足，所以單調遞增，，所以時，不成立；

綜上：存在.