Question

對定義域為D的函數，若存在距離為d的兩條平行直線l _l：y=kx+m_l和l ₂：y=kx+m₂（m_l＜m₂），使得當x∈D時，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數f（x）在（x∈D）有一個寬度為d的通道．有下列函數：
①f（x）=

1

x

；②f（x）=sinx；③f（x）=

x2-1

；④f（x）=x³+1
其中在[1，+∞）上有一個通道寬度為1的函數題號

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：①只需考慮反比例函數在[1，+∞）上的值域即可，
②要分別考慮函數的值域和圖象性質，
③則需從函數圖象入手，尋找符合條件的直線，
④考慮冪函數的圖象和性質，才可做出正確判斷．

解答： 解：①當x∈[1，+∞）時，0＜

1

x

≤1，此時存在直線y=0，y=1，滿足兩直線的距離d=1，使0≤f（x）≤1恒成立，
故在[1，+∞）有一個寬度為1的通道，∴①滿足條件．
②當x∈[1，+∞）時，-1≤sinx≤1，則函數值的最大值和最小值之間的距離d=2，
故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
③當x∈[1，+∞）時，f（x）=

x2-1

表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-

2

，
滿足兩直線的距離d=1，使x≤f（x）≤x-

2

恒成立，∴③滿足在[1，+∞）有一個寬度為1的通道；
④當x∈[1，+∞）時，f（x）=x³+1≥2，且函數單調遞增，故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
故答案為：①③

點評：本題主要考查了對新定義性質的理解和運用，熟知已知四個函數的圖象和性質，是解決本題的關鍵．考查學生的推理和判斷能力．