Question

設函數f（x）=lnx+x²+ax（a∈R）
（1）若函數f（x）有一個極大值和極小值點，求實數a的取值范圍；
（2）已知A（x₁，f（x₁））B（x₂，f（x₂）（x₁≠x₂）是函數f（x）在x∈[1，+∞）的圖象上的任意兩點，且滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2，求a的最小值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，由條件可知2x²+ax+1=0有兩個不等的正根，根據判別式大于0，和韋達定理，即可得到；
（2）因為是不等式恒成立，因此將原式轉化為函數的最值問題，通過變形構造出函數φ（x）=f（x）-2x，通過研究該函數的單調性，進而轉化為該函數的導數大于等于0恒成立，最終使問題獲得解答．

解答： 解：（1）函數f（x）=lnx+x²+ax的導數為f′（x）=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

（x＞0），
由于函數f（x）有一個極大值和極小值點，且大于0，
則2x²+ax+1=0有兩個不等的正根，即有判別式a²-8＞0，且-

a

2

＞0，

1

2

＞0，
解得，a＜-2

2

．
則有實數a的取值范圍是（-∞，-2

2

）；
（2）不妨設x₁＞x₂≥1，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2轉化為f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，
令φ（x）=f（x）-2x，可知函數φ（x）在區間[1，+∞）上單調遞增，
故φ'（x）=f'（x）-2≥0恒成立，
故

1

x

+2x+a-2≥0恒成立，即2-a≤

1

x

+2x恒成立．
當x∈[1，+∞）時，函數y=

1

x

+2x的導數y′=2-

1

x2

＞0，即有函數y單調遞增，
故當x=1時，函數y=

1

x

+2x取得最小值3，即有2-a≤3，解得，a≥-1，
則實數a的最小值為-1．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查參數分離法，以及構造函數，運用導數求最值，考查運算能力，屬于中檔題．