Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，四邊形為菱形，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）若平面與平面交于直線，求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析； （2）

【解析】

（1）由條件有平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可證.
（2）先證明平面 ，然后建議空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的余弦值.

（1） 證明：在三棱柱中，，平面 .

所以平面，且平面

平面平面

所以，所以.

（2）由四邊形為菱形，且

所以為等邊三角形且點(diǎn)為的中點(diǎn)..

則，又側(cè)面底面.

面底面.

所以平面.

又是等邊三角形，且點(diǎn)為的中點(diǎn)..

則.

所以.

以分別為 軸建立空間直角坐標(biāo)系,

所以

設(shè)面的一個(gè)法向量為.

則 ，即

取

設(shè)面的一個(gè)法向量為.

則 ，即

取

所以.

所以二面角的余弦值為.