Question

在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)、，且，使得、、成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的、的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：(1)根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求通項(xiàng)公式；（2）觀測(cè)數(shù)列的特點(diǎn)形式，看使用什么方法求和.使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和目的；（3）與數(shù)列有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).
試題解析：(1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/72/78/72b78af25f74f77696d1e446e44fc5ca.png" style="vertical-align:middle;" />即解得 
所以．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為．     5分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4d/1f/4dc1f7fba06703ab8dd1635440e8a7ad.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和

．
假設(shè)存在正整數(shù)、，且，使得、、成等比數(shù)列，
則．即．
所以．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/44/33f44f8d8b08dd223e918cbde226549a.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．即．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a2/97/a2e971bbdb297765423a53c93d47e84d.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/43/5ca43147c4ed5b47d33b05ff80ecd754.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
此時(shí)．
所以存在滿足題意的正整數(shù)、，且只有一組解，即，．      13分
考點(diǎn)：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)求和；（3）探索性問題.