Question

【題目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數，a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間和極值；
（2）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
（3）證明：（1﹣ ）（ ）（ ﹣ ）…（ ﹣ ）＜e3（3﹣n） ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣ = ，

所以當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減，

當1＜x≤e時，f'（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增，

所以函數f（x）的極小值為f（1）=1

（2）解：假設存在實數a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，

則f′（x）=a﹣ = ，

① 當a≤0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調遞減，

f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），此時函數f（x）的最小值不是3．

②當0＜ ＜e時，f（x）在（0， ]上單調遞減，f（x）在（ ，e]上單調遞增．

所以f（x）min=f（ ）=1+lna=3，a=e2，滿足條件．

③當 ≥e時，f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），

此時函數f（x）的最小值是不是3，

綜上可知存在實數a=e2，使f（x）的最小值是3

（3）證明：由（2）知：當x∈（0，e]，e2x﹣lnx≥3，∴lnx≤e2x﹣3，

∴ n個式子相加得： ；

∴

【解析】（1）當a=1時，求函數的定義域，然后利用導數求函數的極值和單調性；（2）利用導數求函數的最小值，讓最小值等于3，解參數a；（3）根據函數的單調性得到lnx≤e2x﹣3，令x= ﹣ ，累加即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．