Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過(guò)其右焦點(diǎn)F且與該雙曲線一漸近線平行的直線分別與雙曲線的右支和另一條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，且

FB

=2

FA

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、3
• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出右焦點(diǎn)F，求出直線BF的方程，聯(lián)立漸近線方程解得交點(diǎn)B，再由

FB

=2

FA

，可得A為BF的中點(diǎn)，確定出A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
可設(shè)直線AB與漸近線y=-

b

a

x平行，
設(shè)F（c，0），則直線BF：y=-

b

a

（x-c），
聯(lián)立漸近線方程y=

b

a

x，解得交點(diǎn)B（

c

2

，

bc

2a

），
∵2

FA

=

FB

，
∴A是BF的中點(diǎn)，即A（

3

4

c，

bc

4a

），
代入雙曲線方程可得

9c2

16a2

-

b2c2

16a2b2

=1，
即有

c2

2a2

=1，
∴e=

c

a

=

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率，考查向量共線知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．