Question

【題目】已知函數(shù)（其中），且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線.

（1）求的值及此時(shí)的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a= ,； （Ⅱ）減區(qū)間為，增區(qū)間為；極小值為，無(wú)極大值..

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線與直線垂直可得切線的斜率為k=-2.由導(dǎo)函數(shù)的意義代入即可求得a的值；代入函數(shù)后可求得，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式可求得切線方程。

（Ⅱ）將a代入導(dǎo)函數(shù)中，令，結(jié)合定義域求得x的值；列出表格，根據(jù)表格即可判斷單調(diào)區(qū)間和極值。

（Ⅰ）由于，所以，

由于 在點(diǎn) 處的切線垂直于直線，

則 ，解得.

此時(shí)，

切點(diǎn)為，所以切線方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則,

令，解得或（舍），

則的變化情況如下表，

		5
		0
	遞減	極小值	遞增

所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.