Question

若關于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，則實常數λ的取值范圍是

（-∞，-1]

．

Answer 1

分析：關于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，等價于x2+

1

2

x≥(

1

2

)nmax 對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，由(

1

2

)nmax=

1

2

，知x2+

1

2

x≥

1

2

對 x∈（-∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范圍．

解答：解：關于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
等價于x2+

1

2

x≥(

1

2

)nmax 對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
∵(

1

2

)nmax=

1

2

，
∴x2+

1

2

x≥

1

2

對 x∈（-∞，λ]恒成立．
設y=x2+

1

2

x，它的圖象是開口向上，對稱軸為x=-

1

4

的拋物線，
∴當x≤-

1

4

時，左邊是單調減的，所以要使不等式恒成立，則λ²+

1

2

λ≥

1

2

，
解得λ≤-1，或λ≥

1

2

（舍）
當x＞-

1

4

，左邊的最小值就是在x=-

1

4

時取到，
達到最小值時，x2+

1

2

x=(-

1

4

)2+

1

2

•(-

1

4

) =-

1

16

，不滿足不等式．
因此λ的范圍就是 λ≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點評：本題考查函數恒成立問題的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．