Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求證：面DAF⊥面BAF．
（2）求鈍二面角B-FC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）要證兩個平面互相垂直，只要證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線即可，由四邊形ABCD是矩形可知AD⊥AB，再由平面ABFE⊥平面ABCD可得AD⊥平面BAF，則結論得證；
（2）分別以AD，AB，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立的空間直角坐標系，標出用到的點的坐標，求出兩個平面BFC與CFD的一個法向量，利用平面法向量所成的角求二面角的大小．

解答：（1）證明：如圖，
∵平面ABFE⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面BAF．
又∵AD?面DAF，
∴面DAF⊥面BAF；
（2）解：分別以AD，AB，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立的空間直角坐標系，
則A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、F（0，1，1）
∵

DC

=(0，2，0)，

DE

=(-1，0，1)，
設

n

=(x，y，z)為平面CDFE的一個法向量，則

n • DC =0 n • DE =0

，

2y=0 -x+z=0

，令x=1，得z=1，
所以

n

=(1，0，1)．
由平面ABEF⊥平面ABCD知，AF⊥BC，在△AFB中，AF=

2

，AB=2，BF=

2

，∴AF⊥面FBC．
∴

m

=

AF

=(0，1，1)為平面BCF的一個法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，
∵二面角B-FC-D的平面角為鈍角，
∴鈍二面角B-FC-D的大小120°．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的大小，解答的關鍵在于建立正確的空間右手直角坐標系，是中檔題．