Question

已知函數f（x）=kx+m，當x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域為[a₃，b₃]，…，依此類推，一般地，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中k、m為常數，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若m=2，問是否存在常數k＞0，使得數列{b_n}滿足

lim

n→∞

bn=4．若存在，求k的值；若不存在，請說明理由；
（3）若k＜0，設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₀）．

Answer 1

（1）因為f（x）=x+m，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，
所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．
（2）因為f（x）=kx+m（k＞0），當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數
所以f（x）的值域為[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）
假設存在常數k＞0，使得數列{bn}滿足

lim

n→∞

bn=4，則

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，
得4=4k+2，則k=

1

2

符合．
故存在k=

1

2

，使

lim

n→∞

bn=4
（3）因為k＜0，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調減函數，
所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）
又b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=（-k）^n-1
∴Tn-Sn=

n                (k=-1)   1-(-k)n 1+k   (k＜0，k≠-1)

進而有(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010)=

2021055，(k=-1) 2010+2011k-k2011 (1+k)2 ，(k＜0，k≠-1)