Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐中， ， ， ， 為線段上一點，且．

（Ⅰ）若為的中點，證明： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）可證明，又平面， 平面，所以平面．

（Ⅱ）分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角標系，求解即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接交于，連接，因為四邊形是菱形，所以為的中點．

又因為， 為的中點，所以為的中點，所以，

又因為平面， 平面，所以平面．

（Ⅱ）連接，因為，所以，因為，所以，而，所以平面．因為在菱形中， ，所以是等邊三角形．

設，則， ，在中，由得，解得．

分別以直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角標系，由題意得， ， ， ，由，得

設平面的一個法向量為，

由得 令，得，

取平面的一個法向量為，

則，

所以二面角的余弦值為．