【題目】如圖，四棱錐
的底面是菱形，
底面
，
分別是
的中點，
，
，
.
（I）證明：
；
（II）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（III）在
邊上是否存在點
，使
與
所成角的余弦值為
，若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.
【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）
； （Ⅲ）見解析.
【解析】
(Ⅰ)由題意結合幾何關系可證得
平面
，據此證明題中的結論即可；
(Ⅱ)建立空間直角坐標系，求得直線
的方向向量與平面的一個法向量，然后求解線面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假設滿足題意的點
存在，設
，由直線
與
的方向向量得到關于
的方程，解方程即可確定點F的位置.
(Ⅰ)由菱形的性質可得：
，結合三角形中位線的性質可知：
，故
，
底面
，
底面，故
，
且
，故平面，
平面，
(Ⅱ)由題意結合菱形的性質易知
，
，
，
以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
則：
，
設平面的一個法向量為
,
則：
，
據此可得平面的一個法向量為
，
而
，
設直線與平面所成角為
，
則
.
(Ⅲ)由題意可得：
，假設滿足題意的點存在，
設
，，
據此可得：
，即：
,
從而點F的坐標為
，
據此可得：
,
，
結合題意有：
，解得：
.
故點F為
中點時滿足題意.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，
， 
，
，
，
，
為側棱
上一點.
（Ⅰ）若
，求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）在側棱
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求出線段
的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
，
，
，
，
分別為
，
邊的中點，以
為折痕把
折起，使點
到達點
的位置，且
..
（Ⅰ）證明：
平面
；
（Ⅱ）設
為線段
上動點，求直線
與平面
所成角的正弦值的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個極值點
和
，記過點
，
的直線的斜率為k，問：是否存在m，使得
？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線方程
，
為焦點，
為拋物線準線上一點，
為線段
與拋物線的交點，定義:
.
（1）當
時，求
；
（2）證明:存在常數
，使得
.
（3）
為拋物線準線上三點，且
，判斷
與
的關系.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】教材曾有介紹：圓
上的點
處的切線方程為
。我們將其結論推廣：橢圓
上的點處的切線方程為
，在解本題時可以直接應用。已知，直線
與橢圓
有且只有一個公共點.
（1）求
的值；
（2）設
為坐標原點，過橢圓
上的兩點
、
分別作該橢圓的兩條切線
、
，且與交于點
。當
變化時，求
面積的最大值；
（3）在（2）的條件下，經過點作直線
與該橢圓交于
、
兩點，在線段
上存在點
，使
成立，試問：點是否在直線
上，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】獎飯店推出甲.乙兩種新菜品，為了了解兩種菜品的受歡迎程度，現統計一周內兩種菜品每天的銷售量，得到下面的莖葉圖.下列說法中，不正確的是（ ）
A.甲菜品銷售量的眾數比乙菜品銷售量的眾數小
B.甲菜品銷售量的中位數比乙菜品銷售量的中位數小
C.甲菜品銷售量的平均值比乙菜品銷售量的平均值大
D.甲菜品銷售量的方差比乙菜品銷售量的方差大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知函數
的零點構成一個公差為
的等差數列，把函數
的圖像沿
軸向左平移
個單位，得到函數
的圖像，關于函數,下列說法正確的是（ ）
A. 在
上是增函數
B. 其圖像關于
對稱
C. 函數是奇函數
D. 在區間
上的值域為[-2，1]
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