Question

【題目】已知函數f（x）=2alnx+x2﹣（a+4）x+1（a為常數）
（1）若a＞0，討論f（x）的單調性；
（2）若對任意的 a∈（1， ），都存在 x0∈（3，4]使得不等式f（x0）+ln a+1＞m（a﹣a2）+2a ln 成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ．

令f′（x）=0，得x1=2， ．

①當a＞4時， ＞2，當2＜x＜ 時，f′（x）＜0；當0＜x＜2時，f′（x）＞0．

此時f（x）的單調增區間為（0，2），（ ），單調遞減區間為（2， ）．

②當a=4時， =2，f′（x）= 0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

③當0＜a＜4時， ＜2，當 ＜x＜2時，f′（x）＜0；當0＜x＜ 或x＞2時，f′（x）＞0．

此時f（x）的單調增區間為（0， ），（2，+∞），單調遞減區間為（ ，2）．

綜上所述，當a＞4時，f（x）的單調增區間為（0，2），（ ），單調遞減區間為（2， ）．

當a=4時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

當0＜a＜4時，f（x）的單調增區間為（0， ），（2，+∞），單調遞減區間為（ ，2）

（2）解：由（1）可知，當a∈（1， ）時，f（x）在（3，4]上單調遞增．

∴x∈（3，4]時，f（x）max=f（4）=4aln2﹣4a+1，依題意，

只需f（x）max+lna+1＞ ，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2）恒成立．

即對任意的a∈（1， ），不等式lna+ma2﹣（m+2）a+2＞0恒成立．

設h（a）=lna+ma2﹣（m+2）a+2，則h（1）=0．

．

∵a∈（1， ），∴ ＞0．

①當m≥1時，對任意的a∈（1， ），ma﹣1＞0，∴h′（a）＞0，h（a）在（1， ）上單調遞增，h（a）＞h（1）=0恒成立；

②當m＜1時，存在a0∈（1， ），使得當a∈（1，a0）時，ma﹣1＜0，∴h′（a）＜0，h（a）單調遞減，h（a）＜h（1）=0，

∴a∈（1， ）時，h（a）＞0不能恒成立．

綜上述，實數m的取值范圍是[1，+∞）

【解析】（1）求出原函數的導函數，求得導函數的零點，然后對a分類求出函數的單調區間．（2）由（1）可知，f（x）在（3，4]上單調遞增．求出f（x）在（3，4]上的最大值，把問題轉化為f（x）max+lna+1＞ ，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2）恒成立．即對任意的a∈（1， ），不等式lna+ma2﹣（m+2）a+2＞0恒成立．設h（a）=lna+ma2﹣（m+2）a+2，然后分m≥1和m＜1討論a∈（1， ）時h（a）＞0是否恒成立求得實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．