Question

【題目】已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為.

（1）求圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形中？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在直線和

【解析】試題分析：（1）將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，將圓關(guān)于直線對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題，進(jìn)而求出圓的方程；（2）先由條件判定四邊形為矩形，將問題轉(zhuǎn)化為判定兩直線垂直，利用平面向量是數(shù)量積為0進(jìn)行求解.

試題解析：（1）圓化為標(biāo)準(zhǔn)為，

設(shè)圓的圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，

且的中點(diǎn)在直線上，

所以有，

解得： ，

所以圓的方程為.

（2）由，所以四邊形為矩形，所以.

要使，必須使，即： .

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得直線的方程為，與圓

交于兩點(diǎn)， .

因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線滿足條件.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為.

設(shè)

由得： .由于點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以恒成立，

，

， ，

要使，必須使，即，

也就是：

整理得：

解得： ，所以直線的方程為

存在直線和，它們與圓交兩點(diǎn)，且四邊形對(duì)角線相等.