Question

【題目】已知數列{an}是首項為a1＝，公比q＝的等比數列，設，數列滿足cn＝an·bn.

(1)求證：{bn}是等差數列；

(2)求數列{cn}的前n項和Sn；

(3)若cn≤m2＋m－1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）Sn＝ (n∈N＋)（3）或

【解析】試題分析：（1）利用等差數列的定義證明數列是等差數列即可；（2）根據數列的通項特點，采用錯位相減法求數列的前n項和；（3）利用數列的單調性求數列的最大值，問題轉化為解含m的不等式即可.

試題解析：(1)證明：由題意知， ，

∵， ，

∴，

∴數列是首項的等差數列．

(2)由(1)知， ，

∴，

∴；

于是

兩式相減得：

∴．

(3)∵，

∴當時， ，

當時， ，即，

∴當n＝1或2時， 取得最大值是.

又對一切正整數恒成立，

∴，

即，解得或.