Question

【題目】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．

（1）求圓C的方程；

（2）若，求實(shí)數(shù)k的值；

（3）過點(diǎn)（0，4）作動直線m交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．試問：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=4（2）k=0（3）存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）．

【解析】試題分析：（1）先求出AB中垂線方程，再與直線y=x聯(lián)立求出交點(diǎn)即為圓心，最后根據(jù)圓心到A點(diǎn)距離等于半徑，寫出圓方程（2）聯(lián)立直線y=kx+1與圓方程，根據(jù)向量數(shù)量積以及韋達(dá)定理化簡可得實(shí)數(shù)k的值；（3）設(shè)E,F坐標(biāo)，則可表示出以EF為直徑的圓方程，再設(shè)直線m點(diǎn)斜式方程與圓C方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及以EF為直徑的圓過點(diǎn)M（2，0）求出直線m斜率，代入即得以EF為直徑的圓方程，最后討論直線m斜率不存在時是否滿足題意

試題解析：解：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．

因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），

所以|AC|=|BC|=r，

即，

解得a=0，r=2，

所以圓C的方程是x2+y2=4．

（2）因?yàn)?/span>=2×2×cos＜，＞=﹣2，

且與的夾角為∠POQ，

所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，

所以圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，

又d=，所以k=0．

（3）（ⅰ）當(dāng)直線m的斜率不存在時，

直線m經(jīng)過圓C的圓心C，

此時直線m與圓C的交點(diǎn)為E（0，2），F(xiàn)（0，﹣2），

EF即為圓C的直徑，而點(diǎn)M（2，0）在圓C上，

即圓C也是滿足題意的圓．

（ⅱ）當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m：y=kx+4，

由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，

由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

則有①…

由①得，②，③

若存在以EF為直徑的圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0），則ME⊥MF，

所以，

因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，

即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…

則，

所以16k+32=0，k=﹣2，滿足題意．…

此時以EF為直徑的圓的方程為x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，

即，

亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…

綜上，在以EF為直徑的所有圓中，

存在圓P：5x2+5y﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）． …