Question

【題目】已知在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是正三角形，，分別是的中點。

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小；

（3）線段上是否存在一個動點，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）見解析，（Ⅱ），（Ⅲ）不存在

【解析】

（I）先根據面面垂直得線面垂直，再根據平行轉化得結果，（Ⅱ）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得各面法向量，根據向量數量積得法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系得結果，（Ⅲ）先假設存在，根據（Ⅱ）可得平面法向量，再根據向量數量積得直線方向向量與法向量夾角，結合條件得方程，根據方程解的情況作判斷.

（I）證明：∵，,

∴,

又∵,∴，

（Ⅱ）取中點，連接

∵， ，∴，

如圖以點為原點分別以所在直線為軸軸軸建立空間直角坐標系,∴， ，， ,

設平面的法向量為，，

取∴

又平面的法向量為，

設平面與平面所成銳角二面角為

∴，

∴平面與平面所成銳角二面角為.

（Ⅲ）設，

，

∴，

∴，

即，無解，∴不存在這樣的.