Question

【題目】設(shè)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間：

（2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，；（2）0＜a．

【解析】

（1）求導(dǎo)得，求得、的解集即可得解；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立x﹣lnx，由（1）可得當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y取得極大值，令g（x）＝x﹣lnx,(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出x﹣lnx≥1．進(jìn)而得出a的取值范圍．

（1）函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

則，

令可得，，

∴當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立x﹣lnx，x∈(0,+∞),

由（1）可得當(dāng)x=1函數(shù)y取得極大值，

令g(x)= x﹣lnx,(x>0)，g′(x)= 1，

可得x=1時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值即最小值．

∴x﹣lnx≥g(1)=1，

當(dāng)時(shí)，即為函數(shù)y的最大值，

∴x﹣lnx成立1，解得a；

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

綜上所述，0<a．