Question

【題目】如圖，在直角梯形中， // ， ⊥， ⊥, 點是 邊的中點, 將△沿折起，使平面⊥平面，連接, , , 得到如圖所示的幾何體.

（Ⅰ）求證： ⊥平面；

（Ⅱ）若， ，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 由平面⊥平面，得到⊥平面，進而證得⊥，

利用線面垂直的判定定理，即可證得結論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，由（Ⅰ）知平面的法向量，求得平面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求解二面角的大小.

試題解析： (Ⅰ) 因為平面⊥平面，平面平面，

又⊥，所以⊥平面

因為平面，所以⊥

又⊥，∩，所以⊥平面.

(Ⅱ) ，.

依題意△～△，

所以，即.

如圖所示，建立空間直角坐標系，則,,，

，， ，.

由（Ⅰ）知平面的法向量.

設平面的法向量

由得

令，得,所以.

所以.

由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的大小為.