Question

【題目】已知=，，函數是奇函數。

（1）求a，c的值；

（2）當x∈[－l，2]時，的最小值是1，求的解析式。

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）法一：化簡h（x）＝g（x）+f（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3＝﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3對x∈R恒成立得到，從而求解，

法二：化簡h（x）＝g（x）+f（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函數可得a﹣1＝0，c﹣3＝0，從而求解；

（2）根據二次函數的性質，討論對稱軸所在的位置，從而確定f（x）的最小值在何時取得，從而求f（x）的解析式．

解：（1）（法一）：f（x）+g（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，

又f（x）+g（x）為奇函數，

∴h（x）＝﹣h（﹣x），

∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3＝﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3對x∈R恒成立，

∴，

解得；

（法二）：h（x）＝f（x）+g（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，

∵h（x）為奇函數，

∴a﹣1＝0，c﹣3＝0，

∴a＝1，c＝3．

（2）f（x）＝x2+bx+3，其圖象對稱軸為，

當，即b≥2時，

f（x）min＝f（﹣1）＝4﹣b＝1，∴b＝3；

當，即﹣4≤b＜2時，

，

解得或（舍）；

當，即b＜﹣4時，

f（x）min＝f（2）＝7+2b＝1，∴b＝﹣3（舍），

∴f（x）＝x2+3x+3或∴．