Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1，且a₁=1，求證：{a_n}為等差數列．

Answer 1

考點：等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：充分利用已知4S_n=（2n-1）a_n+1+1，將式子中n換成n-1，然后相減得到a_n與a_n+1的關系，利用累乘法得到數列的通項．

解答： 證明：由已知4S_n=（2n-1）a_n+1+1，
得到4S_n-1=（2n-3）a_n+1兩式相減得
4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，
整理得（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1，即

an+1

an

=

2n+1

2n-1

所以

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

5

3

…

an

an-1

=

2n-1

2n-3

，
以上各式相乘得

an

a1

=2n-1，又a₁=1，
所以a_n=2n-1，
所以{a_n}是以1為首項2為公差的等差數列；

點評：本題考查了數列s_n與a_n關系式的運用以及等差數列的通項公式的求法，利用累乘法求數列的通項公式經常用到，注意掌握．