Question

已知函數f（x）=x²+ax+ln2，在[0，1]上為增函數，且對于任意的x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂都滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜3|x₁-x₂|，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x）在[0，1]上為增函數，通過求導得到a≥-2x在[0，1]恒成立，求出a的范圍，設x₁＜x₂，得：f（x₂）-3x₂＜f（x₁）-3x₁，通過構建新函數g（x），結合函數的單調性，從而綜合得到a的范圍．

解答： 解：函數f（x）=x²+ax+ln2，在[0，1]上為增函數，
∴f′（x）=2x+a≥0在[0，1]恒成立，
∴a≥-2x在[0，1]恒成立，
∴a≥0；
對于任意的x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂不妨設x₁＜x₂，
由|f（x₁）-f（x₂）|＜3|x₁-x₂|，
得：f（x₂）-3x₂＜f（x₁）-3x₁，
令g（x）=f（x）-3x，
只需g（x）在[0，1]上得到遞增即可，
∴只需g′（x）=2x+a-3≥0在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3-2x在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3即可，
綜上，a≥3，
故答案為：a≥3．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了函數的單調性，考查了轉化思想，是一道中檔題．