Question

橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線(xiàn)l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明為定值，并求這個(gè)定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：依題意得…（3分）
解得，故橢圓C的方程為． …（5分）
（Ⅱ）證明：依題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=ky+4…（6分）
由，消去x可得（4k²+5）y²+32ky+44=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（0，y₃），則…（8分）
又由直線(xiàn)l的方程x=ky+4知
由三角形的相似比得
注意到y(tǒng)₁y₂＞0，
∴|y₁|+|y₂|=|y₁+y₂|
∴
故為定值． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程，代入橢圓方程，可得一元二次方程，利用韋達(dá)定理，及三角形的相似比，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，正確表示比值是關(guān)鍵．