Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上,且滿足|AB|=2,點(diǎn)P在線段AB上,且=2.設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為C.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程C;

(2)若點(diǎn)M、N是曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,3),求△QMN的面積S的最大值.

Answer 1

解:(1)設(shè)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為(a,0)、(0,b)、(x,y),

則即由|AB|=2,得a²+b²=4,

∴曲線C的方程為=1.

(2)設(shè)M(x₁,y₁),N(-x₁,-y₁),則|MN|=.

當(dāng)x₁≠0時(shí),設(shè)直線MN的方程為y=x,則點(diǎn)Q到直線MN的距離h=,

∴△QMN的面積S=·2·=|y₁-3x₁|.

∴S²=|y₁-3x₁|²=9x₁²+y₁²-9x₁y₁.

又∵=1,∴9x₁²+y₁²=4.∴S²=4-9x₁y₁.

而1=≥-2··=,

則-9x₁y₁≤4,即S²≤8,S≤2.

當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),即x₁=y₁時(shí),“=”成立.

當(dāng)x₁=0時(shí),|MN|=,△QMN的面積S=××=2.

∴S有最大值22.