Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦距為，與拋物線有公共焦點.

（1）求橢圓C1與拋物線的方程；

（2）已知直線是圓的一條切線，與橢圓C1交于兩點，若直線斜率存在且不為，在橢圓C1上存在點，使，其中為坐標原點，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）橢圓C1：，拋物線：；（2）

【解析】

（1）由題意布列方程組即可得到橢圓C1與拋物線的方程；

（2）由題意，可設直線，利用相切可得，把代入并整理得：，而可化為，借助韋達定理可得P點坐標，代入橢圓方程得到關于實數λ的函數關系，進而求值域即可.

（1）由題意，橢圓的焦點在軸上，，，

解得，∴橢圓C1的方程為，，，

拋物線的方程為．

（2）由題意，可設直線，

∵與圓相切，∴，即，

把代入并整理得：，

，即，即，

設，則有，，

條件可化為，由題意，

∵，∴

又∵點P在橢圓上，∴，

∴，

∵，∴且，

∴且，

∴的取值范圍為.

∴的取值范圍為