Question

某租賃公司擁有汽車100輛．當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．
（Ⅰ）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？
（Ⅱ）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）嚴格按照題中月租金的變化對能租出車輛數的影響列式解答即可；
（Ⅱ）從月租金與月收益之間的關系列出目標函數，再利用二次函數求最值的知識，要注意函數定義域優先的原則．作為應用題要注意下好結論．

解答：解：（Ⅰ）當每輛車的月租金定為3600元時，
未租出的車輛數為

3600-3000

50

=12，
所以這時租出了88輛車．
（Ⅱ）設每輛車的月租金定為x元，
則租賃公司的月收益為f(x)=(100-

x-3000

50

)(x-150)-

x-3000

50

×50，
整理得f(x)=-

x2

50

+162x-21000=-

1

50

(x-4050)2+307050．
所以，當x=4050時，f（x）最大，最大值為f（4050）=307050，
即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元．

點評：本題以實際背景為出發點，既考查了信息的直接應用，又考查了目標函數法求最值．特別是二次函數的知識得到了充分的考查．在應用問題解答中屬于非常常規且非常有代表性的一類問題，非常值得研究．