Question

【題目】如圖，在三角形中，，平面與半圓弧所在的平面垂直，點為半圓弧上異于的動點，為的中點.

（1）求證：；

（2）求三棱錐體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可知平面，則，又，再根據線面垂直的判定與性質即可得出結論；

（2）由題意得，由此可得當為半圓弧的中點時體積有最大值，從而求出答案．

（1）證＼：因為平面與半圓所在的平面垂直，交線為，

又，即，所以垂直于半圓所在平面，

而在半圓平面內，故，

又為直徑，點為半圓弧上一點，故，

且，因此平面，

又平面，所以；

（2）解：由題意知，點為的中點，

所以點到半圓面的距離是點到半圓面距離的一半，

因此，

而（其中為點到的距離），

當點為半圓弧的中點時，最大，且最大值為1，

因此的最大值為2，

故三棱錐體積的最大值為．