Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，E為AD的中點，∠BAD=120°，PA=AB=BC=

1

2

AD，F是線段PB上動點，記λ=

PF

PB

（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）設二面角F-CD-E的平面角為θ，當tanθ=

1

2

時，求實數λ的值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得四邊形AEBC為平行四邊形，AB∥CE，由此能證明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）法一：過F作FH∥AP交AB于點H，由已知得FH⊥平面ABCD，過H作HG⊥CD交直線CD于點G，連接FG，則∠FGH即為二面角F-CD-E的平面角，延長AB與DC交于點Q，設FH=a，則HG=2a，由此能求出λ=

PF

PB

=

AH

AB

=

2a

3a

=

2

3

．
（Ⅱ）法二：以A為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，利用向量法能求出λ=

2

3

．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵E為AD的中點，BC=

1

2

AD，
∴AE=BC，又AD∥BC，∴四邊形AEBC為平行四邊形，AB∥CE，
又CE?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
（Ⅱ）解法一：過F作FH∥AP交AB于點H，
∵PA⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，
過H作HG⊥CD交直線CD于點G，連接FG，則FG⊥CD，
∴∠FGH即為二面角F-CD-E的平面角，tan∠FGH=

1

2

，
延長AB與DC交于點Q，設FH=a，則HG=2a，
又∵PA=AB=BC=

1

2

AD，∴∠BQC=30°，∠PBA=45°，
在Rt△HGQ中，HQ=4a，Rt△PHB中，BH=FH=a，則 BQ=3a，HA=2a，
∴λ=

PF

PB

=

AH

AB

=

2a

3a

=

2

3

．
（Ⅱ）解法二：以A為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，
設AB=1，則B(1，0，0) ，C(

1

2

，

3

2

，0) ，D(-1，

3

，0)
由λ=

PF

PB

，得

PF

=λ

PB

    ，λ∈(0，1)，由已知得F（λ，0，1-λ）
則

CF

=（λ-

1

2

，-

3

2

，1-λ），

DF

=（λ+1，-

3

，1-λ），
設平面FCD的法向量

n

=(1，y，z)，
由

n • CF =0 n • DF =0

，得

n

=(1，

3

，

λ-2

λ-1

)，
又平面CDE的法向量為

n

1=(0，0，1)，
由tanθ=

1

2

，得cosθ=

2 5

5

，
由cosθ=

n • n1

| n || n1 |

=

2 5

5

，
解得λ=

2

3

或λ=

6

5

(舍去)，所以λ=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養．