Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程式ρ²=2ρsinθ+3，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是

x=m+4t y=3t

（t為參數(shù)，m為常熟）
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程
（2）當(dāng)曲線C與直線l有公共點(diǎn)時，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程式ρ²=2ρsinθ+3，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；進(jìn)而可得曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=1+2sinθ

．由直線l的參數(shù)方程

x=m+4t y=3t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得3x-4y-3m=0．
（2）曲線C與直線l有公共點(diǎn)，可得圓心到直線的距離≤r，解出即可．

解答： 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程式ρ²=2ρsinθ+3，化為x²+y²=2y+3，配方為x²+（y-1）²=4．
可得曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=1+2sinθ

．
由直線l的參數(shù)方程

x=m+4t y=3t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得3x-4y-3m=0．
（2）∵曲線C與直線l有公共點(diǎn)，∴

|0-4-3m|

32+42

≤2，
化為|3m+4|≤10，∴-10≤3m+4≤10，解得-

14

3

≤m≤2．
∴m的取值范圍是[-

14

3

，2]．

點(diǎn)評：本題考查了圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程及參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．