Question

已知向量a=(sinx，

3

)，b=（2cosx，cos2x），函數f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式和它的單調遞減區間；
（Ⅱ）請根據y=f（x）的圖象是由y=sinx的圖象平移和伸縮變換得到的過程，補充填寫下面的內容．
（以下兩小題任選一題，兩題都做，以第1小題為準）
①把y=sinx的圖象由

 

得到

 

的圖象，再把得到的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的一半（縱坐標不變），得到

 

的圖象，最后把圖象上的所有點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），得到

 

的圖象；
②把y=sinx的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的一半（縱坐標不變），得到

 

的圖象，再將得到的圖象向左平移

 

單位，得到

 

的圖象；最后把圖象上的所有點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），得到

 

的圖象．

Answer 1

分析：（I）把a，b代入函數f（x）=a•b，即可得到函數f（x）的解析式，對解析式化簡整理得f（x）=2sin（2x+

π

3

），再根據正弦函數的單調性得出單調遞減區間．
（II）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象左加右減，上加下減的原則即可得出答案．

解答：解：（I）f(x)=a•b=2sinx•cosx+

3

cos2x
=2sinx+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
∴

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

+2kπ，k∈Z

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ，k∈Z
∴f(x)的單調遞減區間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，k∈Z
（II）①左平移

π

3

個單位；
y=sin(x+

π

3

)；
y=sin(2x+

π

3

)；
y=2sin(2x+

π

3

)；
②y=sin2x，

π

6

y=sin(2x+

π

3

)；
f(x)=2sin(2x+

π

3

)．

點評：本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和正弦函數的單調性問題．屬基礎題．